آیا شانسی برای برنده شدن در لاتاری دارید؟

2024 نویسنده: Malcolm Clapton | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 03:54

ریاضیات به شما کمک می کند احتمال برنده شدن را محاسبه کنید و تعیین کنید که کدام یک سودآورتر است: خرید 10 بلیط بخت آزمایی برای یک بازی یا یک بلیط برای 10 بلیط مختلف.

در سریال آمریکایی "4isla" (Numb3rs) شخصیت اصلی یک ریاضیدان است که به اف بی آی در حل جنایات کمک می کند. در یکی از قسمت ها این جمله را به زبان می آورد که احتمال کشته شدن در راه برای گرفتن بلیت قرعه کشی بیشتر از احتمال برنده شدن در لاتاری است. در پایان مقاله، من یک محاسبات مربوط به این عبارت را ارائه خواهم کرد، اما اکنون می خواهم کمی در مورد ریاضیات پشت قمار گسترده صحبت کنم و اینکه چگونه می تواند به شما کمک کند تا کمی شانس خود را افزایش دهید.

قانون 1. خطرات را ارزیابی کنید

برای یک فرد تحصیل کرده مدرن پوشیده نیست که کازینوها و موسسات مختلف قمار همه بازی های خود را به گونه ای محاسبه می کنند که همیشه برنده باشند و سود داشته باشند. این کار بسیار ساده انجام می شود: یک فرد باید برنده هایی را که با شرط او در مقایسه با شانس برنده شدن او مرتبط است، برگرداند.

بله، به هر حال، حتی پیچیده ترین مدل های ریاضی به طور متوسط به یک چیز خلاصه می شود: اگر 1 روبل شرط بندی می کنید و به شما پیشنهاد می شود 1000 روبل دریافت کنید، شانس برنده شدن شما کمتر از 1/1000 است.

هیچ استثنایی وجود ندارد، مگر اینکه شخصی بخواهد به شما پول بدهد. این قانون ساده را در ذهن داشته باشید تا همیشه مراقب وضعیت باشید.

تئوری بازی هر استراتژی را به همین صورت ارزیابی می کند: احتمال برنده شدن در اندازه آن ضرب می شود. به طور کلی، ریاضیات معتقد است که دریافت 1000 روبل تضمینی مانند دریافت 2000 روبل با شانس 50٪ است. این اصل به شما امکان مقایسه تقریبی بازی های مختلف را با یکدیگر می دهد. کدام بهتر است: یک میلیون دلار با شانس 1/100000 یا 50 دلار با شانس 1/4؟ به طور شهودی، به نظر می رسد که جمله اول جالب تر است، اما از نظر ریاضی، دومی سود بیشتری دارد.

اگر فقط در چارچوب ریاضیات بمانید، می توانید محاسبه کنید: برنده شدن در کازینو غیرممکن است، زیرا هر استراتژی انتخابی منجر به این واقعیت می شود که حاصلضرب احتمال برنده شدن با اندازه پرداخت برای بازیکن همیشه است. کمتر از شرطی که قبلاً انجام داده است.

با این حال، مردم بازی می کنند زیرا سود آنها نه تنها در پول، بلکه در احساسات ناشی از این فرآیند - و حتی بیشتر از آن از پیروزی است.

و همچنین به دلیل اینکه پول برای ما غیرخطی است: به طور رسمی دریافت 1 روبل در حال حاضر مانند دریافت یک میلیون روبل با شانس 1 / 1,000,000 است، اما در واقع، از دست دادن روبل به هیچ وجه بر وضعیت ما تأثیر نمی گذارد، چیزی تغییر نخواهد کرد. در زندگی، اما گرفتن یک میلیون یک اتفاق بسیار جدی است.

قانون 2. در فضای باز بازی کنید

متأسفانه نمی توانیم به آشپزخانه داخلی قرعه کشی نفوذ کنیم. اما درک حداقل روش رسمی نحوه انجام قرعه کشی مفید است.

به عنوان مثال، ماشین های اسلات معروف "One-Armed Bandit" و سایر ماشین های بازی در واقع کمی حقه هستند: نمادهایی با مقادیر مختلف روی چرخی که بازیکن می بیند ترسیم می شود، اما در عین حال همه چیز به گونه ای مرتب شده است. که بازیکن فکر می کند که شانس سقوط هر نماد یکسان است. در واقع (در ماشین‌های قدیمی - به صورت مکانیکی و در ماشین‌های مدرن - با کمک یک برنامه) پشت هر چرخ قابل رویت فعلی پنهان است که نمادهای ارزشمند در آن کمیاب و اغلب ارزان هستند.

شانس گرفتن 777 در دستگاه اسلات کمتر از احتمال گرفتن هر سه گیلاس است و این تفاوت می تواند ده برابر باشد.

قرعه کشی های "باز" از این نظر صادقانه تر هستند. در ایالات متحده، زمانی که بلیط شامل یک دنباله از اعداد است یا توسط خود خریدار انتخاب می شود، فرمت گسترده است. به عنوان مثال، در روسیه، قالب لوتو ترجیح داده می شود: چندین خط اعداد روی بلیط وجود دارد، و شما باید یکی از آنها را ببندید (یک برد معمولی)، یا همه آنها را (جکپات).در تئوری، یک شرکت قرعه‌کشی می‌تواند به‌طور «ویژه» بلیط‌های غیربرنده را چاپ و بفروشد، و سپس ترتیب توپ‌ها را دستکاری کند، اما در عمل شرکت‌های بزرگ این کار را انجام نمی‌دهند: سازمان‌دهندگان قرعه‌کشی همیشه برنده می‌شوند، و در صورت فاش شدن بد، رسوایی به وجود می‌آید. ایمان عظیم خواهد بود

اگر قصد قمار دارید، درک مکانیزم آن و اطمینان از اینکه هیچ ذینفعی روی نتایج تأثیر ندارد مفید خواهد بود.

قانون 3. شانس خود را بدانید

احتمال جکپات در هر قرعه کشی، به عنوان یک قاعده، یک فرمول در نظر گرفته می شود. اما محاسبه احتمال، به عنوان مثال، بستن حداقل یک خط در لوتو بسیار بی اهمیت است و کل مقاله یا شاید بیش از یک مقاله را می طلبد. بنابراین در واقع شانس دریافت مقداری پول در قرعه کشی با توجه به اینکه اکثر قرعه کشی ها علاوه بر جایزه اصلی دارای جوایز اضافی نیز هستند بیشتر است. اما برای سهولت ارزیابی، بر جکپات تمرکز خواهم کرد.

فرض کنید یک بلیط بخت آزمایی با مجموعه ای تصادفی از اعداد خریدیم. در طول قرعه کشی، به همان تعداد توپ کشیده می شود، و اگر اعداد روی آنها با اعداد روی بلیط مطابقت داشته باشد (به هر ترتیب، این مهم است!)، سپس ما برنده شدیم. احتمال چنین بردی به صورت زیر محاسبه می شود:

احتمال برنده شدن = 1 ÷ تعداد ترکیب توپ.

تعداد ترکیبات بدون در نظر گرفتن ترتیب در ریاضیات تعداد ترکیبات نامیده می شود و اگر فرمول محاسبه آن را بدانید و درک کنید، به احتمال زیاد چیز جدیدی از این مقاله یاد نخواهید گرفت. اگر ریاضیدان نیستید، استفاده از سرویس آنلاینی مانند این آسان تر خواهد بود. چنین خدماتی (و فرمول زیربنای عملکرد آنها) دو عدد را ارائه می دهند:

• n تعداد کل گزینه های ممکن برای یک مورد است. در مورد ما، شی یک توپ است، و به تعداد تعداد توپ در قرعه کشی توپ وجود دارد، در زیر بیشتر توضیح می دهیم.
• k تعداد اقلام در یک نمونه است. در مورد ما - قرعه کشی چند توپ می کشد و چند عدد در بلیط وجود دارد (فرض می شود که این مقادیر برابر هستند).

بنابراین، اگر یک قرعه کشی داشته باشیم که 5 توپ کشیده شده باشد و در مجموع 50 توپ در قرعه کشی با اعداد از 1 تا 50 وجود داشته باشد، احتمال برنده شدن در آن برابر با یک به تعداد ترکیب های k = 5 خواهد بود. و n = 50، یعنی:

1 ÷ 2 118 760 = 0, 00005%.

بیایید یک مورد پیچیده تر را در نظر بگیریم - قرعه کشی محبوب پاوربال آمریکایی، که در آن ارزش جکپات از یک میلیارد دلار فراتر رفت. طبق قوانین، یک نمونه اولیه از 5 عدد (از 1 تا 69) و همچنین یک عدد اضافی (از 1 تا 26) وجود دارد. برای برنده شدن باید تمام 6 عدد را مطابقت دهید.

به راحتی می توان فهمید که شانس بدست آوردن اولین ست برابر است با یک به تعداد ترکیبات برای k = 5 و n = 69 (یعنی 11 238 513) و شانس "گرفتن" آخرین توپ برابر است. 1 در 26. برای به دست آوردن همه چیز به یکباره، این شانس ها باید چند برابر شوند زیرا رویدادها باید همزمان اتفاق بیفتند:

(1 ÷ 11 238 513) × (1 ÷ 26) = 1 ÷ 292 201 338 = 0, 0000003%.

به عبارت دیگر، اگر 300 میلیون نفر بلیط بخرند، فقط یک نفر برنده می شود. این نشان می دهد که چرا جکپات اغلب به هیچ وجه برنده نمی شود: سازمان دهندگان بخت آزمایی به سادگی تعداد زیادی بلیط را برای گرفتن یک برنده چاپ نمی کنند.

قانون 4. به موقع شروع کنید

به هر حال، بلیط بخت آزمایی PowerBall 2 دلار هزینه دارد. برای محاسبه سودی که خرید بلیط را جبران می کند، باید قیمت بلیط را در 292 201 338 ضرب کنید.

درباره محاسبات بیشتر بدانید. این اشاره به نکته اول است که می گوید سود یک راه حل برابر است با مقدار آن ضربدر احتمال. اگر رویدادی با احتمال 1 / X و مقدار N داشته باشیم، سود آن N / X خواهد بود. ما 2 دلار خرج می‌کنیم و می‌توانیم محاسبه کنیم که برنده‌ها چه مقدار از خرید بلیط را جبران می‌کنند:

• 2 = N ÷ X.
• N = 2 × X، و X در اینجا فقط برابر با 292 201 338 است، همانطور که توسط محاسبات قسمت قبل نشان داده شده است.

شما همچنین باید مالیات را در نظر بگیرید (ببینید چه درصدی از مبلغ اعلام شده واقعاً به برنده می رسد، معمولاً حدود 70٪). یعنی جکپات باید حداقل 850 میلیون دلار باشد و در این قرعه کشی این اتفاق می افتد. چطور است، همان ابتدا گفتم که سود با چنین ضربی همیشه به نفع بازیکن نیست؟

واقعیت این است که اگر قرعه کشی جکپات انجام نشد، به دفعه بعدی می رود و بنابراین پول برای مدتی جمع می شود و فروش بلیط ادامه می یابد.

در شرایط ایده آل، باید بدون خرید بلیط از تمام بازی ها صرف نظر کنید و سپس دقیقاً برای بازی که قرعه کشی در آن انجام می شود، خرید کنید.

اما نمی توان از قبل این را دانست. با این حال، به محض اینکه جکپات از مقدار ذکر شده بیشتر شد، می توانید اقدام به خرید بلیط کنید. در چنین شرایطی، از نظر ریاضی، بازی سودمند خواهد بود.

همچنین می توانید بفهمید چه چیزی سودآورتر است: خرید بلیط های زیادی برای یک بازی یا خرید یک بلیط برای بسیاری از بازی ها؟ بیایید در مورد آن فکر کنیم.

در نظریه احتمال، مفهوم رویدادهای نامرتبط وجود دارد. این بدان معنی است که نتیجه یک رویداد به هیچ وجه بر نتیجه رویداد دیگر تأثیر نمی گذارد. به عنوان مثال، اگر دو تاس بیندازید، اعداد سقوط روی آنها به یکدیگر مرتبط نیستند: از نقطه نظر تصادفی، یک تاس بر رفتار تاس دوم تأثیر نمی گذارد. اما اگر دو کارت از عرشه بکشید، این رویدادها به هم متصل می شوند، زیرا کارت اول تعیین می کند که کدام کارت ها در عرشه باقی می مانند.

یک تصور غلط رایج در مورد این خطای بازیکن نامیده می شود. این از ایده شهودی یک فرد از ارتباط رویدادهای نامرتبط ناشی می شود.

به عنوان مثال، اگر یک سکه بارها و بارها پشت سر هم بالا بیاید، آنگاه ما تمایل داریم که به این باور برسیم که به این دلیل شانس گرفتن سر افزایش می یابد، اما در واقع اینطور نیست، شانس همیشه یکسان است.

بازگشت به قرعه کشی: بازی های مختلف رویدادهای نامرتبط هستند زیرا ترتیب توپ ها دوباره انتخاب می شود. بنابراین شانس برنده شدن در هر قرعه کشی خاصی به تعداد دفعاتی که قبلاً آن را بازی کرده اید بستگی ندارد. پذیرش شهودی بسیار دشوار است، زیرا هر بار که یک نفر بلیط می‌خرد، فکر می‌کند: "خب، حالا، تا می‌توانی خوش شانس خواهی بود، من خیلی وقت‌ها بازی می‌کردم!" اما نه، تئوری احتمال چیز بی رحمی است.

اما خرید چندین بلیط برای یک بازی شانس شما را به طور متناسب افزایش می دهد، زیرا بلیط های یک بازی به هم مرتبط هستند: اگر یکی برنده شود، قطعا دیگری (با ترکیبی متفاوت) برنده نخواهد شد. خرید 10 بلیط در صورتی که تمام ترکیبات روی بلیط ها متفاوت باشد، شانس را 10 برابر افزایش می دهد (در واقع تقریباً همیشه همینطور است). به عبارت دیگر، اگر پول 10 بلیت دارید، بهتر است آن را برای یک بازی بخرید تا با بلیت 10 بازی بخرید.

پس از توضیحات شما در نظرات، انصافاً می توان گفت که احتمال برنده شدن حداقل یک بازی در یک سری از بازی های N بیشتر از احتمال برنده شدن در یک بازی خاص است. با این حال، هنوز هم کمی کمتر از شانس برنده شدن با خرید N بلیط برای یک بازی است، اما فاصله بسیار کم است.

اگر فقط یک بار در ماه به خاطر قمار از حقوق خود بلیط می گیرید، به احتمال زیاد، روند بازی برای شما مهم است. از نظر ریاضی، صرفه جویی در این پول و خرید همزمان 12 بلیت در پایان سال سود بیشتری دارد، هرچند که البته باخت در چنین شرایطی خردکننده تر خواهد بود.

قانون 5. به موقع توقف کنید

و در آخر می خواهم بگویم که حتی احتمال 1/100 از نظر یک فرد بسیار کم است. اگر ماهی یک بار این احتمال را بررسی کنید، در عرض 8 سال 100 بررسی از این دست خواهید داشت. تصور کنید چند برابر احتمال 1/1,000,000 یا 1/100,000,000 کمتر است؟ بنابراین، همیشه فقط مبلغی را شرط بندی کنید که از از دست دادن کامل آن ترس ندارید و نه یک روبل بیشتر.

در خاتمه، همانطور که قول داده بودم، از ابتدای مقاله به ارزیابی بیانیه خواهم پرداخت. این داده ها برای ایالات متحده است، زیرا بیانیه به طور خاص برای این کشور تنظیم شده است، علاوه بر این، ما قبلاً شانس لاتاری آمریکایی را در بالا محاسبه کرده ایم.

طبق آمار، در سال 2016 در ایالات متحده حدود 17000 قتل در ایالات متحده رخ داده است، ما این را به عنوان یک رقم متوسط در نظر خواهیم گرفت. و همچنین فرض کنید که شخصی هدف بالقوه قتل زمانی است که در حال حاضر بالغ است، اما پیر نیست - یعنی حدود 50 سال در طول زندگی خود. یعنی در این 50 سال حدود 850 هزار قتل انجام خواهد شد. جمعیت ایالات متحده 325.7 میلیون جمعیت ایالات متحده است، بنابراین شانس قرار گرفتن در یک نمونه تصادفی 850000 نفر عبارتند از:

850 000 ÷ 325 700 000 = 1 ÷ 383 = 0, 3%.

اما صبر کنید، این فقط یک فرصت برای کشته شدن است.یعنی در راه گرفتن بلیط قرعه کشی؟ فرض کنید هر روز هفته برای کار از خانه خارج می شوید، یک آخر هفته بیرون می روید و روز بعد در خانه می مانید. میانگین 6 روز در هفته یا حدود 26 روز در ماه است. و یک بار در ماه یک بلیط قرعه کشی می خرید. بنابراین، اعداد به دست آمده نیز باید بر 26 تقسیم شوند:

(1 ÷ 383) ÷ 26 = 1 ÷ 9 958 = 0, 01%.

و حتی با چنین تخمین تقریبی، این به طور قابل توجهی بیشتر از یک برد محتمل است. به طور دقیق تر، احتمال آن 30000 برابر بیشتر است. در واقع، البته، اعداد متفاوت خواهد بود: یک فرد نه تنها در خیابان در معرض خطر است، برخی افراد بیشتر از دیگران در معرض خطر هستند، زنان تقریباً چهار برابر کمتر از مردان کشته می شوند. اما اصل به شرح زیر است.

اگرچه زندگی بدون ایمان به اتفاقات خوب و با انتظار همیشگی اتفاقات بد، حتی دانستن ریاضیات بهترین انتخاب نیست.