آمار برهنه جالب ترین کتاب در مورد کسل کننده ترین علم است

2024 نویسنده: Malcolm Clapton | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 03:54

کی گفته آمار علمی کسل کننده و بیهوده است؟ چارلز ویلن به طور قانع کننده ای استدلال می کند که این موضوع بسیار دور از واقعیت است. امروز گزیده ای از کتاب او را در مورد چگونگی برنده شدن یک ماشین، نه بز، با استفاده از آمار منتشر می کنیم و درک می کنیم که شهود می تواند شما را گمراه کند.

معمای مونتی هال

رمز و راز مونتی هال یک مشکل معروف در نظریه احتمال است که شرکت کنندگان در یک نمایش بازی به نام Let’s Make a Deal را که هنوز در چندین کشور محبوب است و در سال 1963 در ایالات متحده نمایش داده شد، گیج کرد. (به یاد دارم هر بار که در کودکی این نمایش را تماشا می کردم، زمانی که به دلیل بیماری به مدرسه نمی رفتم.) قبلا در مقدمه کتاب به این نکته اشاره کردم که این نمایش بازی می تواند برای آماردانان جذاب باشد. در پایان هر یک از شماره های آن، شرکت کننده ای که به فینال راه یافته بود با مونتی هال مقابل سه در بزرگ می ایستاد: در شماره 1، درب شماره 2 و درب شماره 3. مونتی هال به فینالیست توضیح داد که پشت یک درب از این درها جایزه بسیار ارزشمندی بود - برای مثال یک ماشین جدید و یک بز پشت دو تای دیگر. فینالیست باید یکی از درها را انتخاب می کرد و آنچه پشت آن بود را می گرفت. (من نمی دانم که آیا حداقل یک نفر در بین شرکت کنندگان در نمایشگاه بود که می خواست یک بز تهیه کند یا خیر، اما برای سادگی، فرض می کنیم که اکثریت قریب به اتفاق شرکت کنندگان رویای یک ماشین جدید را در سر می پرورانند.)

تعیین احتمال اولیه برنده شدن نسبتاً آسان است. سه در وجود دارد، دو در یک بز را پنهان می کند و در سومی یک ماشین را پنهان می کند. وقتی یکی از شرکت‌کنندگان در نمایش با مونتی هال جلوی این درها می‌ایستد، از هر سه شانس، یکی را برای انتخاب دری که ماشین پشت آن قرار دارد، دارد. اما، همانطور که در بالا ذکر شد، در Let’s Make a Deal نکته ای وجود دارد که این برنامه تلویزیونی و مجری آن را در ادبیات نظریه احتمال جاودانه کرد. پس از اینکه فینالیست نمایش به یکی از سه در اشاره کرد، مونتی هال یکی از دو در باقی مانده را باز می کند که پشت آن همیشه یک بز وجود دارد. سپس مونتی هال از فینالیست می‌پرسد که آیا می‌خواهد نظرش را تغییر دهد، یعنی درب بسته انتخاب شده قبلی را به نفع یک در بسته دیگر رها کند.

به عنوان مثال، فرض کنید که شرکت‌کننده به در شماره 1 اشاره کرد. سپس مونتی هال در شماره 3 را باز کرد که بز پشت آن پنهان شده بود. دو در، درب شماره 1 و درب شماره 2 بسته می مانند. اگر جایزه ارزشمند پشت درب شماره 1 بود، فینالیست آن را می برد و اگر پشت درب شماره 2 بود، بازنده بود. در این مرحله است که مونتی هال از بازیکن می‌پرسد که آیا می‌خواهد انتخاب اولیه خود را تغییر دهد (در این مورد، درب شماره 1 را به نفع درب شماره 2 رها کنید). البته به یاد خواهید داشت که هر دو در هنوز بسته هستند. تنها اطلاعات جدیدی که شرکت‌کننده دریافت کرد این بود که بز پشت یکی از دو دری قرار گرفت که او انتخاب نکرد.

آیا فینالیست باید از انتخاب اولیه به نفع درب شماره 2 صرف نظر کند؟

جواب می دهم: بله باید. اگر او به انتخاب اصلی پایبند باشد، احتمال برنده شدن یک جایزه ارزشمند ⅓ خواهد بود. اگر نظرش عوض شود و به در شماره 2 اشاره کند، احتمال برنده شدن یک جایزه ارزشمند ⅔ خواهد بود. اگر باور ندارید ادامه مطلب را بخوانید.

اعتراف می کنم که این پاسخ در نگاه اول چندان واضح نیست. به نظر می رسد هر کدام از دو درب باقی مانده را فینالیست انتخاب کند، احتمال دریافت جایزه ارزشمند در هر دو حالت ⅓ است. سه در بسته است. در ابتدا، احتمال اینکه یک جایزه ارزشمند پشت هر یک از آنها پنهان شده باشد ⅓ است. آیا تصمیم فینالیست برای تغییر انتخاب خود به نفع درب بسته دیگری تفاوتی دارد؟

البته، چون نکته مهم این است که مونتی هال می داند پشت هر دری چه چیزی وجود دارد.اگر فینالیست در شماره 1 را انتخاب کند و واقعاً یک ماشین پشت آن باشد، مونتی هال می‌تواند درب شماره 2 یا در 3 را باز کند تا بزی که پشت آن کمین کرده است را نشان دهد.

اگر فینالیست در 1 را انتخاب کند و ماشین پشت در 2 باشد، مونتی هال در 3 را باز می کند.

اگر فینالیست به در 1 اشاره کند و ماشین پشت در 3 باشد، مونتی هال در 2 را باز می کند.

با تغییر نظر پس از باز کردن یکی از درها توسط مجری، فینالیست این مزیت را به دست می آورد که به جای یک در، دو در را انتخاب کند. من سعی خواهم کرد به سه روش مختلف شما را در مورد درستی این تحلیل متقاعد کنم.

اولی تجربی است. در سال 2008، جان تیرنی، ستون نویس نیویورک تایمز درباره پدیده مونتی هال نوشت. پس از آن، کارکنان انتشارات یک برنامه تعاملی ایجاد کردند که به شما امکان می دهد این بازی را انجام دهید و به طور مستقل تصمیم بگیرید که آیا انتخاب اولیه خود را تغییر دهید یا خیر. (این برنامه حتی برای بزهای کوچک و ماشین های کوچکی که از پشت درها ظاهر می شوند نیز فراهم می کند.) در صورتی که انتخاب اولیه خود را تغییر دهید و در مواردی که متقاعد نشده اید، برنامه برنده های شما را ثبت می کند. من 100 بار به یکی از دخترانم پول دادم تا این بازی را انجام دهد و هر بار انتخاب اصلی او را تغییر دادم. من هم 100 بار به برادرش پول دادم تا بازی را بازی کند و هر بار تصمیم اصلی را حفظ کردم. دختر 72 بار برنده شد. برادرش 33 بار به هر تلاش دو دلار پاداش داده شد.

شواهد اپیزودهای بازی Let’s Make a Deal نیز همین الگو را نشان می دهد. به گفته لئونارد ملودینوف، نویسنده کتاب The Drunkard's Walk، آن دسته از فینالیست هایی که انتخاب اولیه خود را تغییر دادند، تقریباً دو برابر بیشتر از کسانی که متقاعد نشده بودند، برنده شدند.

توضیح دوم من برای این پدیده مبتنی بر شهود است. فرض کنید قوانین بازی کمی تغییر کرده است. به عنوان مثال، فینالیست با انتخاب یکی از سه در شروع می کند: در شماره 1، درب شماره 2 و درب شماره 3، همانطور که از ابتدا برنامه ریزی شده بود. با این حال، پس از آن، قبل از باز کردن هر یک از درها، که بز پشت آن پنهان شده است، مونتی هال می پرسد: "آیا موافقت می کنید در ازای باز کردن دو در باقی مانده از انتخاب خود صرف نظر کنید؟" بنابراین، اگر درب شماره 1 را انتخاب کردید، می توانید نظر خود را به نفع درب شماره 2 و درب شماره 3 تغییر دهید. اگر ابتدا به درب شماره 3 اشاره کردید، می توانید درب شماره 1 و درب شماره 2 را انتخاب کنید. و غیره.

این تصمیم چندان دشواری برای شما نخواهد بود: کاملاً بدیهی است که باید از انتخاب اولیه به نفع دو در باقی مانده صرف نظر کنید، زیرا این امر شانس برنده شدن را از ⅓ به ⅔ افزایش می دهد. جالب ترین چیز این است که در اصل این است که مونتی هال پس از باز کردن دری که بز پشت آن پنهان شده است، در یک بازی واقعی به شما پیشنهاد می کند. واقعیت اساسی این است که اگر به شما فرصت انتخاب دو در داده می شد، به هر حال یک بز پشت یکی از آنها پنهان می شد. وقتی مونتی هال دری را که بز پشت آن قرار دارد باز می کند و تنها پس از آن از شما می پرسد که آیا با تغییر انتخاب اولیه خود موافقت می کنید، به طور قابل توجهی شانس شما را برای برنده شدن یک جایزه ارزشمند افزایش می دهد! اساسا، مونتی هال به شما می گوید: "احتمال پنهان شدن یک جایزه ارزشمند پشت یکی از دو دری که بار اول انتخاب نکردید ⅔ است که هنوز بیش از ⅓ است!"

می توانید آن را اینگونه تصور کنید. فرض کنید به در شماره 1 اشاره کردید. پس از آن، مونتی هال به شما این فرصت را می دهد که تصمیم اصلی را به نفع درب شماره 2 و در شماره 3 رها کنید. شما موافقت می کنید و دو در در اختیار دارید، به این معنی که شما دارید به هر دلیلی انتظار بردن یک جایزه ارزشمند با احتمال ⅔، نه ⅓ را داشته باشید. اگر در این لحظه مونتی هال در 3 - یکی از درهای "شما" - را باز می کرد و یک بز پشت آن بود، چه اتفاقی می افتاد؟ آیا این واقعیت اعتماد شما به تصمیمتان را متزلزل می کند؟ البته که نه. اگر ماشین پشت در 3 پنهان می شد، مونتی هال در 2 را باز می کرد! او چیزی به شما نشان نمی دهد.

زمانی که بازی طبق یک سناریوی ناک آف انجام می شود، مونتی هال واقعا بین دری که در ابتدا مشخص کردید و دو درب باقی مانده، که یکی از آنها می تواند ماشین باشد، یک انتخاب را به شما می دهد. وقتی مونتی هال دری را که بز پشت آن پنهان شده است باز می کند، به سادگی به شما لطف می کند و به شما نشان می دهد که کدام یک از دو درب دیگر ماشین نیست. احتمال برنده شدن در هر دو حالت زیر یکسان است.

درب شماره 1 را انتخاب کنید، سپس با "تغییر" به درب شماره 2 و درب شماره 3 حتی قبل از باز شدن هر دری موافقت کنید.
انتخاب در شماره 1، سپس موافقت با "تغییر" به در شماره 2 بعد از اینکه مونتی هال بز پشت درب شماره 3 را به شما نشان می دهد (یا انتخاب درب شماره 3 بعد از اینکه مونتی هال بز پشت در شماره 2 را به شما نشان می دهد).

در هر دو مورد، رها کردن تصمیم اصلی به شما مزیت دو در را نسبت به یک در می‌دهد و بنابراین می‌توانید شانس برنده شدن خود را از ⅓ به ⅔ دو برابر کنید.

گزینه سوم من یک نسخه رادیکال تر از همان شهود اولیه است. فرض کنید مونتی هال از شما می خواهد که یکی از 100 در را انتخاب کنید (به جای یکی از سه در). پس از انجام این کار، با اشاره به درب شماره 47 بگویید، 98 درب باقی مانده را باز می کند که بزها را نشان می دهد. اکنون فقط دو در بسته باقی مانده است: درب شماره 47 شما و دیگری، به عنوان مثال، درب شماره 61. آیا باید از انتخاب اولیه خود صرف نظر کنید؟

البته که بله! به احتمال 99 درصد خودرو پشت یکی از درهایی است که شما ابتدا آن را انتخاب نکرده اید. مونتی هال با بازکردن 98 تا از این درها لطف کردید، هیچ ماشینی پشت آنها نبود. بنابراین، تنها 1 در 100 شانس وجود دارد که انتخاب اولیه شما (درب شماره 47) درست باشد. در عین حال 99 از 100 احتمال اشتباه بودن انتخاب اولیه شما وجود دارد. اگر چنین است، پس ماشین پشت درب باقی مانده یعنی درب شماره 61 قرار دارد. اگر می خواهید با احتمال برنده شدن 99 بار از 100 بازی کنید، باید به درب شماره 61 "سوئیچ" کنید.

به طور خلاصه، اگر زمانی مجبور به بازی Let’s Make a Deal شوید، قطعاً باید زمانی که مونتی هال (یا هر کسی که جایگزین او می شود) به شما حق انتخاب بدهد، از تصمیم اصلی خود عقب نشینی کنید. یک نتیجه جهانی تر از این مثال این است که حدس های شهودی شما در مورد احتمال وقوع رویدادهای خاص می تواند گاهی اوقات شما را گمراه کند.